בגרות 571 קיץ 2024 מועד א׳ – שאלה 7חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 41
בגרות 571 · קיץ 2024 מועד א׳ · שאלה 7
שיעור 41 – בגרות 571 קיץ 2024 מועד א׳ – שאלה 7
פרק 4 – 10 בגרויות 571: חקירת פונקציה טריגונומטרית
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – תחום ההגדרה
3סעיף א (2) – זוגיות
4סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים
5סעיף א (4) – נקודות הקיצון
6סעיף ב – סקיצה
7סעיף ג – חיוביות ושליליות
8סעיף ד – גרף הנגזרת
9סעיף ה – k באמצעות S
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos x − √cos x , בתחום −π ≤ x ≤ π .
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .
(2) הראו כי הפונקציה f(x) היא פונקציה זוגית.
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(4) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן (בתשובותיכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).
(2) הראו כי הפונקציה f(x) היא פונקציה זוגית.
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(4) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן (בתשובותיכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
ג. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x) .
נתונה הפונקציה g(x) = k − f(x) , k הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.
📄 נוסח השאלה · המשך
נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום בין 0 ל־π2 .
נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) ועל ידי הישרים x = π2 ו־x = −π2 הוא 10 · S .
ה. הביעו את k באמצעות S .
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
ביטוי בתוך שורש לא יכול להיות שלילי:
cos x ≥ 0
📐 תחום הגדרה של שורש
בתחום −π ≤ x ≤ π הקוסינוס אי־שלילי ברביע הראשון וברביע הרביעי, כלומר בין −π2 ל־π2 :
−π2 ≤ x ≤ π2
✅ פתרון סופי: −π2 ≤ x ≤ π2
📐 תחום הגדרה של שורש
√u מוגדר כאשר u ≥ 0
סעיף א (2) – זוגיות
התחום −π2 ≤ x ≤ π2 סימטרי סביב 0. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos x − √cos x
נציב −x במקום x :
f(−x) = cos(−x) − √cos(−x)
cos(−x) = cos x
📐 זווית נגדית
f(−x) = cos x − √cos x
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
סעיף א (2) – זוגיות · המשך
f(−x) = cos x − √cos x
f(−x) = f(x)
קיבלנו f(−x) = f(x) , ולכן הפונקציה זוגית.
📐 פונקציה זוגית
✅ פתרון סופי: הוכחנו: f(−x) = f(x)
📐 פונקציה זוגית
f(−x) = f(x)
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = cos 0 − √cos 0
f(0) = 1 − 1 = 0
חיתוך עם ציר ה־x (f(x) = 0):
cos x − √cos x = 0
cos x = √cos x
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים · המשך
cos x = √cos x
נעלה בריבוע (שני האגפים אי־שליליים):
cos2x = cos x
cos2x − cos x = 0
cos x (cos x − 1) = 0
📐 מכפלה שווה 0
cos x = 0 : בתחום ההגדרה x = ±π2 .
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים · המשך
cos x = 0 : בתחום ההגדרה x = ±π2 .
cos x = 1 : בתחום ההגדרה x = 0 .
בדיקה: f(±π2) = 0 − √0 = 0 , f(0) = 1 − 1 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π2 , 0) , (−π2 , 0)
סעיף א (4) – נקודות הקיצון
נכתוב את השורש כחזקה, וגוזרים כל איבר:
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
(√cos x)′ = −sin x2√cos x
📐 נגזרת של שורש
f′(x) = −sin x − −sin x2√cos x
f′(x) = −sin x + sin x2√cos x
נוציא גורם משותף sin x :
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של שורש
(√u)′ = u′2√u
סעיף א (4) – נקודות הקיצון · המשך
נוציא גורם משותף sin x :
f′(x) = sin x · (12√cos x − 1)
משווים ל־0 (בנקודות שבהן cos x > 0):
sin x · (12√cos x − 1) = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 . בתחום ההגדרה: x = 0 .
אפשרות 2:
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א (4) – נקודות הקיצון · המשך
אפשרות 2:
12√cos x = 1
2√cos x = 1
√cos x = 12
cos x = 14
זו לא זווית מיוחדת. במחשבון (מצב רדיאנים, R על המסך): SHIFT cos ( 1 ÷ 4 ) =
סעיף א (4) – נקודות הקיצון · המשך
זו לא זווית מיוחדת. במחשבון (מצב רדיאנים, R על המסך): SHIFT cos ( 1 ÷ 4 ) =
x ≈ ±1.32
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
הערה: 1.32 ≈ 0.42π . גם קצות התחום x = ±π2 הם נקודות שצריך לבדוק.
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל קטע (במחשבון, מצב רדיאנים):
f′(−1.5) ≈ −0.88 < 0
f′(−1) ≈ 0.27 > 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א (4) – נקודות הקיצון · המשך
f′(−1) ≈ 0.27 > 0
f′(1) ≈ −0.27 < 0
f′(1.5) ≈ 0.88 > 0
שיעור ה־y – נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos x − √cos x
סעיף א (4) – נקודות הקיצון · המשך
f(x) = cos x − √cos x
ב־x = ±1.32 מתקיים cos x = 14 . נציב:
f(±1.32) = 14 − √14
f(±1.32) = 14 − 12 = −0.25
ומחיתוך הצירים: f(0) = 0 , f(±π2) = 0 .
✅ פתרון סופי:
מקסימום (0 , 0)
מינימום (1.32 , −0.25) , (−1.32 , −0.25)
מקסימום קצה (π2 , 0) , (−π2 , 0)
מקסימום (0 , 0)
מינימום (1.32 , −0.25) , (−1.32 , −0.25)
מקסימום קצה (π2 , 0) , (−π2 , 0)
סעיף ב – סקיצה
מה אנחנו יודעים (סעיף א):
• התחום −π2 ≤ x ≤ π2 , הגרף סימטרי לציר ה־y.
• מקסימום קצה (−π2 , 0) , יורד למינימום (−1.32 , −0.25) , עולה למקסימום (0 , 0) .
• יורד למינימום (1.32 , −0.25) , ועולה עד מקסימום קצה (π2 , 0) .
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג – חיוביות ושליליות
נקודות האפס של הפונקציה (סעיף א(3)): x = −π2 , 0 , π2 . בין שתי נקודות אפס סמוכות הסימן לא משתנה.
• בין −π2 ל־0 יש מינימום (−1.32 , −0.25) – ערך שלילי, ולכן כל הקטע שלילי.
• בין 0 ל־π2 יש מינימום (1.32 , −0.25) – גם כאן הקטע שלילי.
רואים את זה גם בסקיצה: הגרף אף פעם לא עולה מעל ציר ה־x .
✅ פתרון סופי: חיוביות: אין
שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2
שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2
סעיף ד – גרף הנגזרת
נבדוק אילו תכונות של f′ אנחנו כבר יודעים:
• f זוגית, ולכן f′ אי־זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית ועובר בה (f′(0) = 0).
• מסעיף א(4): f′ < 0 בין 0 ל־1.32, ו־f′ > 0 בין 1.32 ל־π2 .
• כאשר x מתקרב ל־π2 , cos x מתקרב ל־0, המכנה 2√cos x מתקרב ל־0, ולכן:
12√cos x → +∞
ולכן גם f′(x) → +∞ .
סעיף ד – גרף הנגזרת · המשך
ולכן גם f′(x) → +∞ .
ובצד השני (x → −π2) f′ → −∞ .
נפסול: גרפים I ו־II לא שואפים לאינסוף בקצוות. גרף III לא סימטרי ביחס לראשית (הגבעה משמאל גבוהה בהרבה מהשקע מימין). גרף IV מתאים לכל התכונות: שלילי מעט מימין ל־0, חיובי ושואף ל־+∞ ליד π2 , וסימטרי ביחס לראשית.
✅ פתרון סופי: גרף IV
סעיף ה – k באמצעות S
שלב 1 – איזה גרף למעלה. מסעיף ג: f(x) ≤ 0 בכל התחום, ו־k > 0 . לכן:
g(x) = k − f(x) ≥ k > 0 ≥ f(x)
גרף g מעל גרף f בכל התחום. ההפרש:
g(x) − f(x) = k − 2f(x)
10S = ∫−π2π2 (k − 2f(x)) dx
📐 שטח בין שני גרפים
שלב 2 – האינטגרל של f. בין 0 ל־π2 הגרף של f מתחת לציר ה־x , ולכן האינטגרל שלילי ושווה למינוס השטח:
📐 שטח בין שני גרפים
S = ∫ab (g(x) − f(x)) dx
כאשר g מעל f
כאשר g מעל f
סעיף ה – k באמצעות S · המשך
שלב 2 – האינטגרל של f. בין 0 ל־π2 הגרף של f מתחת לציר ה־x , ולכן האינטגרל שלילי ושווה למינוס השטח:
∫0π2 f(x) dx = −S
f זוגית, ולכן בצד השמאלי יש עוד שטח זהה:
∫−π2π2 f(x) dx = −2S
שלב 3 – נחשב. נפרק את האינטגרל:
האינטגרל של הקבוע k הוא k כפול אורך הקטע:
סעיף ה – k באמצעות S · המשך
האינטגרל של הקבוע k הוא k כפול אורך הקטע:
∫−π2π2 k dx = k · π
10S = kπ − 2∫−π2π2 f(x) dx
נציב ∫−π2π2 f(x) dx = −2S :
10S = kπ − 2 · (−2S)
10S = kπ + 4S
סעיף ה – k באמצעות S · המשך
10S = kπ + 4S
kπ = 6S
k = 6Sπ
✅ פתרון סופי: k = 6Sπ
📌 סיכום התשובות
סעיף א (1)
−π2 ≤ x ≤ π2
סעיף א (2)
הוכחה
סעיף א (3)
(0 , 0) , (±π2 , 0)
סעיף א (4)
מקס. (0 , 0)
מינ. (±1.32 , −0.25)
מקס. קצה (±π2 , 0)
מינ. (±1.32 , −0.25)
מקס. קצה (±π2 , 0)
סעיף ב
סקיצה
סעיף ג
חיוביות: אין
שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2
שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2
סעיף ד
גרף IV
סעיף ה
k = 6Sπ
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא